1.    
  2.    
  3.     Як влаштований фрактал

Як влаштований фрактал

 

Як був відкритий фрактал

Математичні форми, відомі як фрактали, належать генію видатного вченого Бенуа Мандельброта. Більшу частину життя він провів у Сполучених Штатах, де викладав математику в Єльському університеті. В 1977 і 1982 роках Мандельброт опублікував наукові праці, присвячені вивченню «фрактальної геометрії» або «геометрія природи», в яких розбивав на перший погляд випадкові математичні форми на складові елементи, які опинилися при найближчому розгляді повторюваними, – що і доводить наявність якогось зразка для копіювання. Відкриття Мандельброта дало вагомі позитивні наслідки у розвитку фізики, астрономії, біології.

Як влаштований фрактал

Фрактал (від латинського «fractus» – розбитий, дроблений, зламаний) являє собою складну геометричну фігуру, яка складена з декількох нескінченної послідовності частин, кожна з яких подібна всій фігурі цілком, і повторюється при зменшенні масштабу.

Структура фрактала на всіх шкалах є нетривіальною. Тут потрібно уточнити, що мається на увазі. Так от, регулярні фігури, такі як коло, еліпс або графік гладкої функції влаштовані таким чином, що при розгляді невеликого фрагмента регулярної фігури в досить великому масштабі він буде схожим з фрагментом прямій. Для фракталів ж збільшення масштабу не призводить до спрощення структури фігури, і на всіх шкалах ми бачимо одноманітно складну картину.

Фрактали у природі

У природі фрактальными властивостями володіють багато об’єктів, наприклад: крони дерев, цвітна капуста, хмари, кровоносна та альвеолярна системи людини і тварин, кристали, сніжинки, елементи яких шикуються в одну складну структуру, узбережжя (фрактальна концепція дозволила вченим виміряти берегову лінію Британських островів і інші, раніше незмірні, об’єкти).

Розглянемо будову цвітної капусти. Якщо розрізати один з квіток, очевидно, що в руках залишається все та ж кольорова капуста, тільки меншого розміру. Можна продовжувати різати знову і знову, навіть під мікроскопом – однак все, що ми отримаємо – це крихітні копії цвітної капусти. В цьому найпростішому випадку навіть невелика частина фрактала містить інформацію про всієї кінцевої структурі.

Яскравим прикладом фрактала в природі є «Романеску», вона ж «романська брокколі» або «кольорова коралова капуста». Перші згадки про це екзотичному овоче відносяться до Італії 16 століття. Нирки цієї капусти ростуть по логарифмічній спіралі. Їй не перестають захоплюватися 3D-художники, дизайнери і кулінари. Останні, причому особливо цінують овоч за самий витончений смак (солодкувато-горіховий, а не сірчистий відтінок), який тільки може бути у капусти, і за те, що він менш розсипчастий, ніж звичайна кольорова капуста. Крім того, романська брокколі багата вітаміном С, антиоксидантами і каротиноїдами.

Фрактали в цифровій техніці

Фрактальна геометрія внесла неоціненний вклад у розробку нових технологій в області цифрової музики, а так само зробила можливою стиснення цифрових зображень. Існуючі фрактальні алгоритми стиснення зображення засновані на принципі зберігання стискає зображення замість самої цифрової картинки. Для стискає зображення основна картинка залишається нерухомою точкою. Фірма «Microsoft» використовувала один з варіантів даного алгоритму при виданні своєї енциклопедії, але з тих чи інших причин широкого поширення ця ідея не отримала.

Фрактали в мережі

Принцип фрактального стиснення інформації для компактного збереження відомостей про вузлах мережі «Netsukuku» використовує система призначення IP-адрес. Кожен вузол зберігає 4 кілобайта інформації про стан сусідніх вузлів. Будь-який новий вузол підключається до загальної мережі Інтернет, не вимагаючи центрального регулювання роздачі IP-адрес. Можна зробити висновок, що принцип фрактального стиснення інформації забезпечує децентралізовану роботу всієї мережі, а тому робота в ній протікає максимально стійко.

Фрактали в графіці

Фрактали широко застосовуються в комп’ютерній графіці – при побудові зображень дерев, кущів, поверхні морів, гірських ландшафтів і інших природних об’єктів. Завдяки фрактальної графіки був винайдений ефективний спосіб реалізації складних неевклідових об’єктів, чиї образи схожі на природні: це алгоритми синтезу коефіцієнтів фрактала, що дозволяють відтворити копію будь-якої картинки максимально близько до оригіналу. Цікаво, що крім фрактальної «живопису» існують так само фрактальна музика і фрактальна анімація. В образотворчому мистецтві існує напрямок, що займається отриманням зображення випадкового фрактала – «фрактальна монотипія» або «стохатипия».

В математичній основі фрактальної графіки лежить фрактальна геометрія, де в основу методів побудови зображень-спадкоємців» поміщений принцип успадкування від вихідних «об’єктів-батьків». Самі поняття фрактальної геометрії та фрактальної графіки з’явилося всього близько 30 років тому, але вже міцно увійшли в побут комп’ютерних дизайнерів і математиків.

Базовими поняттями фрактальної комп’ютерної графіки є:

  • Фрактальний трикутник – фрактальна фігура – фрактальний об’єкт (ієрархія в порядку убування)
  • Фрактальна пряма
  • Фрактальна композиція
  • «Об’єкт-батько» і «Об’єкт спадкоємець»

Також як у векторній та тривимірної графіки, створення фрактальних зображень математично вычисляемо. Головне відміну від перших двох видів графіки в тому, що фрактальне зображення будується за рівнянням або системи рівнянь, – нічого, крім формули в пам’яті комп’ютера для виконання обчислень зберігати не потрібно, – і така компактність математичного апарату дозволила використання цієї ідеї в комп’ютерній графіці. Просто змінюючи коефіцієнти рівняння, можна з легкістю отримати зовсім інше фрактальне зображення за допомогою кількох математичних коефіцієнтів задаються поверхні і лінії дуже складної форми, що дозволяє реалізувати такі прийоми композиції, як горизонталі і вертикалі, симетрію і асиметрію, діагональні напрями і багато іншого.

Як побудувати фрактал?

Творець фракталів виконує роль художника, фотографа, художника, вченого-винахідника одночасно. Які чекають етапи роботи створення малюнка «з нуля»?

  • поставити форму малюнка математичною формулою
  • дослідити збіжність процесу і варіювати його параметри
  • вибрати вид зображення
  • вибрати палітру кольорів

Серед фрактальних графічних редакторів та інших графічних програм можна виділити:

  • «Art Dabbler»
  • «Painter» (без комп’ютера жоден художник ніколи не досягне закладених програмістами можливостей лише за допомогою за допомогою олівця, пера кисті)
  • «Adobe Photoshop» (але тут зображення «з нуля» не створюється, а, як правило, тільки обробляється)

Розглянемо пристрій довільній фрактальної геометричної фігури. В її центрі знаходиться найпростіший елемент – рівносторонній трикутник, який отримав однойменну назву: «фрактальний». На середньому відрізку сторін побудуємо рівносторонні трикутники зі стороною, рівної однієї третини від сторони вихідного фрактального трикутника. За тим же принципом будуються ще більш дрібні трикутники-спадкоємці другого покоління – і так до нескінченності. Об’єкт, який в результаті вийшов, називається «фрактальної фігурою», з послідовностей якої отримуємо «фрактальну композицію».

 

20.12.2016

Написати коментар